Définition :
Soit \((a_j\lt b_j)\) une famille finie de points de l'intervalle \([0,1]\) et soit $${{\Bbb 1_{]a_j,b_j[}(x) }}={{\begin{cases}1&\text{si}\quad a_j\lt x\lt b_j\\ 0&\text{sinon.}&\end{cases}}}$$ si \(g(x)=\sum^m_{x=1}\lambda_k\Bbb 1_{]a_j,b_j[}(x)\) une fonction en escalier
Alors l'intégrale de \(g\) est définie par : $$\int^1_0 g(x)\,dx=\sum^m_{k=1} x_k(b_k-a_k)$$
Fonction continue
Théorème :
Soit \(f:[0,1]\to{\Bbb R}\) une fonction continue
Alors il existe \(g_k\) une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément sur \([0,1]\) vers \(f\)
Affirmation (définition de l'intégrale sur \([0,1]\) pour une fonction continue) : $$\int^1_0f(x)\,dx={{\lim_{N\to+\infty}\int^1_0g_N(x)\,dx}}$$
Intégration complexe Intégrale impropre - Intégrale généralisée
Sur \({\Bbb R}^+\)
Définition :
Soit \(f:[0,+\infty[\to{\Bbb R}\) une fonction continue
On dit que \(\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est convergente (ou existe) si et seulement si $$\lim_{R\to+\infty}\int^R_0 f(x)\,dx=\int^{+\infty}_0f\quad\text{ existe}$$
Intégrale généralisée sur l'ensemble des réels
On dit que \(\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\,dx\) existe si \(\int^0_{-\infty}f(x)\,dx\) et \(\int^{+\infty}_0f(x)\,dx\) existent
Dans ce cas, on a : $${{\int^{+\infty}_{-\infty}f(x)\,dx}}={{\int^0_{-\infty}f(x)\,dx+\int^{+\infty}_0f(x)\,dx}}$$
( (Relation de Chasles))
Interprétation géométrique :
Soit \(f\) une fonction définie, continue et positive sur un intervalle \(I=[a,b]\)
Soit \(\mathscr C_f\) sa courbe représentative dans un plan
L'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est l'aire comprise entre \(\mathscr C_f\), l'axe des abscisses et les droites d'équation \(x=a\) et \(x=b\)
Notation :
On utilise la notation \(\int^b_af(x)dx\) pour décrire cette aire \(\mathscr A\)
Définition :
Les nombres réels \(a\) et \(b\) sont les bornes de l'intégrale
(Continuité, Fonction positive) Pasted image 20211203131327.png
Fonction négative
Définition (interprétation géométrique) :
Soit \(f\) une fonction définie, continue et négative sur l'intervalle \([a,b]\), alors l'intégrale \(\int^b_af(x)dx\) est égale à l'opposé de l'aire \(\mathscr A\)
(Fonction négative)
Relation de Chasles :
$$\int^b_af(t)dt={{\int^c_af(t)dt+\int_c^bf(t)dt}}$$ où \(f\) est continue sur \([a,b]\) et \(c\in[a,b]\)
Formule de Chasles (intégrale) : $$\int^b_af(x)\,dx=\sum^{N-1}_{k=0}\int^{x_{k+1} }_{x_k}f(x)\,dx\quad\text{ avec }\quad x_k=a+k\frac{b-a}N\quad\text{ pour }\quad0\leqslant k\leqslant n$$
On note la valeur approchée de l'intégrale \(J_k^Q(f)\)
Relation de Chasles :
Si \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) et \(\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt\) convergent, alors : $${{\int^{+\infty}_af(t)\,dt}}={{\int^{a'}_af(t)\,dt+\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt}}$$
Corollaire
Relation de Chasles :
Soient \(a'\in[a,+\infty[\)
Alors \(\int^{+\infty}_af(t)\,dt\) et \(\int^{+\infty}_{a'}f(t)\,dt\) sont de même nature
Jouer avec les bornes
Corolaire :
Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\)
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I_a\), alors $$\int^{ {{a}} }_{ {{a}} }f(t)dt={{0}}$$$\(\int^b_af(t)dt=-{{\int^a_bf(t)dt}}\)$
Fonction paire
Propriétés :
Si \(f\) est continue et paire sur \([-a,a]\), alors $$\int^{ {{a}}}_{ {{-a}} }f(t)dt={{2\int_0^af(t)dt}}$$
Soit \(f\) une fonction continue sur l'intervalle \([a,b]\)
$$F(x)={{\int_a^xf(t)dt}}$$ est dérivable sur \([a,b]\) et a pour dérivée \(f\), avec \(F(a)=0\)
(Dérivée - Dérivation, Primitive)